Comment calculer les sous-groupes de Zn

Les groupes cycliques sont un sous-ensemble de tous les groupes avec une structure particulièrement facile à comprendre . En particulier, les groupes cycliques peuvent être représentés par un ensemble de nombres avec modulo arithmétique . Par exemple, Z15 peut être formée par les nombres 0 à 14, avec 16 égal à 1, 17 égal à 2 et ainsi de suite . Ces groupes cycliques ont une mathématique leur est propre . Une question particulièrement intéressante , qui donne un aperçu de profondeur dans les classes de mathématiques de premier cycle , c'est ce que sous-ensembles de ces groupes forment des groupes eux-mêmes . Instructions
Le 1

facteur de l'ordre de votre groupe . Par exemple , si le groupe dispose de 18 éléments , l'ordre est de 18 : 18 = 2 x 3 x 3 Si le groupe dispose de 30 éléments , l'ordre est de 30: 2 x 3 x 5
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Déterminer tous les nombres possibles qui peuvent se diviser uniformément dans l'ordre du groupe , basé sur la factorisation fait à l'étape 1 dans un groupe de l'ordre de 18 , ce serait donner 2 , 3 , 6 et 9 dans un groupe d'ordre 30 , ce qui donne 2 , 3 , 5 , 6 , 10 et 15
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Comprendre que chaque sous-groupe de votre groupe cyclique doit être de l'ordre d'un facteur de l'ordre de votre groupe principal . Par exemple, pour le groupe cyclique d'ordre 18 , un sous-groupe approprié --- ou un sous-groupe qui est plus grand que l'un des éléments et inférieure à 18 éléments --- doit être de l'ordre 2 , 3 , 6 ou 9 , puisque ceux-ci sont l' seuls les numéros qui peuvent tenir compte dans 18 en outre , chaque sous-groupe d'un sous-groupe d'un groupe cyclique doit être lui-même un groupe cyclique .
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Trouver le plus petit élément de chacun des numéros figurant à l'étape 2 . dans le groupe de l'ordre de 18 pour l'addition , 2 est le plus petit élément d'ordre 9 ( depuis le 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) , 3 est le plus petit élément d'ordre 6 (depuis 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 ) , 6 est le plus petit élément d'ordre 3 (depuis 6 + 6 + 6 = 18 ) et 9 est le plus petit élément d'ordre 2 ( depuis le 9 + 9 = 18 ) .
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Déterminer les sous-groupes formés par ces éléments . Dans le groupe cyclique d'ordre 18 , le sous-groupe engendré par le groupe 2 est {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } . Le sous-groupe engendré par le groupe 3 est {0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } , et qui est généré par 6 {0 , 6 , 12 } . Le sous-groupe cyclique d'ordre 2 est le groupe {0 , 9 } . Merci à la combinaison de propriétés discutées à l'étape 3 , il ya toujours exactement un sous-groupe d'un groupe cyclique pour chaque nombre qui peut diviser uniformément dans l'ordre du groupe .